兄数

もくじ

問題の概要	自然数 Ｎ を Ｎ＝ｎ1＋ｎ2＋ｎ3＋･･･＋ｎk と，いくつかの自然数の和に分解し，それらの積 ｎ1×ｎ2×ｎ3×･･･×ｎk をつくるときの最大値はいくらか？
兄数(1)：「兄数」って何だ？ 兄数(2)：「兄数」を求めてみよう 兄数(3)：「兄数」の求め方（説明） 兄数(4)：「兄数」が中学入試に出題されていた！ 兄数(5)：自然数の和から正の数の和へと拡張すると(1) 兄数(6)：自然数の和から正の数の和へと拡張すると(2) 兄数(7)：拡張した「兄数」の《浮浪の予想》

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兄さんが作る大きな数(1)
兄数って何だ？

自然数をいくつかの自然数の和の形に分解し，それらを掛けあわせて，できるだけ 大きな数を作ってみましょう。 　そうしてできる最も大きな数を，元の自然数の兄数と呼ぶことにします。 　とは言っても，これだけでは，きっと「何のことやら？？？」でしょう。 　そこで，例として，具体的に「１０の兄数」を考えてみましょう。 　１０　は　５＋５　とか　６＋４　とか　７＋３　というように自然数の和の形に 分解することができますね。 　　ここで［＋］を［×］に換えると， 　　　　　５＋５ → ５×５ ＝ ２５ 　　　　　６＋４ → ６×４ ＝ ２４ 　　　　　７＋３ → ７×３ ＝ ２１ 　　　　　８＋２ → ８×２ ＝ １６　となります。 　　　　　　　　このようにしてできる最も大きな数が「１０の兄数」です。 　そっか，「１０の兄数」は２５なんだ・・・と早とちりをしてはいけませんぞ。 　昔から『急いては事をし損じる』と言います。もう少し検討してみましょう。 　「いくつかの自然数の和の形に分解して」ですから，４＋４＋２　としてもかまい ませんね。この場合は 　　　　４＋４＋２ → ４×４×２ ＝ ３２ となって，２５より大きくなります。 　では３２が「１０の兄数」なのでしょうか？ 　残念ながらこれも違います。 　別の分解のしかたを試してみたりして，「１０の兄数」を探してみましょう。 【問題１】 　「１０の兄数」は一体いくらなのでしょう？

兄さんが作る大きな数(2)
兄数を求めてみよう

「１０の兄数」は３６です。 　分解の仕方は 　２＋３＋２＋３ → ２×３×２×３ ＝ ３６ 　３＋３＋４ → ３×３×４ ＝ ３６ など，いろいろありますが，いずれにしても「１０の兄数」＝３６です。 　「兄数」：自然数をいくつかの自然数の和の形に分解し，それらを掛けてできる 　　　　　　最大の数 の意味がわかりましたか？ 　ここで考えてほしいのは， 　　　「兄数」を求めるにはどのような形に分解すればよいのか ということなのです。 　それを考えるために，１〜９の兄数を求めて一覧表を作ってみましょう。 【問題２】 　１〜９までの兄数を求め，一覧表にまとめましょう。 　１…………　１ 　２…………　２ 　３…………　３ 　４…………　４（２＋２ → ２×２） 　５…………　６（３＋２ → ３×２） 　６…………　　（ 　７…………　　（ 　８…………　　（ 　９…………　　（ １０…………３６（３＋３＋２＋２ → ３×３×２×２） 　※余裕のある人は１５までの一覧表を作ってみましょう。

兄さんが作る大きな数(3)
兄数の求め方

「兄数」：自然数をいくつかの自然数の和の形に分解し，それらを掛けてできる 　　　　　　最大の数 を求めるための分解の仕方に共通するのは「２と３だけにする」ですね。 　《兄さんが作る大きな数》というのは，「２，３（ニイサン）」が作る・・・とい う単なるシャレです。(^^;) 　さて，任意の自然数の「兄数」を求めるための分解の仕方ですが，どうして２と３ だけにする必要があるのでしょうか。 　（２＋２の部分は４でも構わないのですが，それはおいておきましょう） 　もう一度，「兄数」の一覧表を見て下さい。 　　１…………　　１ 　　２…………　　２ 　　３…………　　３ 　　４…………　　４（２＋２ → ２×２） 　　５…………　　６（３＋２ → ３×２） 　　６…………　　９（３＋３ → ３×３） 　　７…………　１２（３＋２＋２ → ３×２×２） 　　８…………　１８（３＋３＋２ → ３×３×２） 　　９…………　２７（３＋３＋３ → ３×３×３） 　４以下の自然数の兄数はもとの自然数と変わりませんが，４以上の自然数はいくつ かの２と３に分解することによってもとの自然数より大きな兄数が得られますね。 　この事実がポイントです。 　任意の自然数Ｎを適当に分解するとき 　　Ｎ ＝ ａ＋ｂ＋････＋α＋１ → ａ×ｂ×････×α×１ と分解するより 　　Ｎ ＝ ａ＋ｂ＋････＋(α＋１) → ａ×ｂ×････×(α＋１) の方が大きい数になることは（α×１＜α＋１）からも明らかでしょう。

兄さんが作る大きな数(3)
兄数の求め方

さて，ａ，ｂ，････が４以上のときですが（４のときは２×２としても変りがない ので２×２とすることにしておきます），５なら３＋２に，６なら３＋３に，････と いうように分解した方が大きい数が得られるのですから，「３」と「２」に分解しま す。 　そうして，全て３と２に分解したとします。 　例：２０＝３＋３＋２＋３＋３＋２＋２＋２ ←思い付くまま適当に３と２に分割 　「２」ですが，２＋２＋２（＝６）より３＋３（＝６）の方が，積にすると大きな 数になるので，２が３個以上あれば，「３個の２」を「２個の３」に直します。 　例：２０＝３＋３＋２＋３＋３＋２＋２＋２ 　　　　　＝３＋３＋３＋３＋３＋３＋２ 　結局，初めからできるだけ３が多くなるように３と２に分割するのがベストな 分け方となります。(^_^)ｵｼﾏｲ 　この結論をもう少し数学的にまとめて，自然数Ｎの「兄数」を求める式を作ると， 　　　Ｎ＝３ｎ−１ のとき，兄数＝３ｎ−１×２ 　　　Ｎ＝３ｎ　　 のとき，兄数＝３ｎ 　　　Ｎ＝３ｎ＋１ のとき，兄数＝３ｎ−１×２×２　（ただし，ｎは自然数） といった具合にまとめることができます。 【問題３】 　５０の兄数はどんな数になるでしょう？

兄さんが作る大きな数(4)
兄数が中学入試に出題されていた

５０＝３×１６＋２　だから，「５０の兄数」は　３１６×２＝８６０９３４４２ となります。 　さて，この「兄数」ですが，中学入試問題に出題されていることを知りました。 　　　　　　　　（中村義作『算数100の難問・奇問２』講談社BLUE BACKS にて） 　整数を１個または２個以上の整数の和に分けて，得られた整数の積を最大にする ことを考えます。まず，１０について調べると，分け方の一部は下の表のようにな ります。これをヒントにして，どんな分け方をすれば積が最大になるのかの方法を 求め，１０と２０について，最大にする積の値を求めなさい。（灘中） 　　　　　　和　　　　　　　 　積 　　　　　１＋９　　　　　　　　９ 　　　　１＋３＋６　　　　　　１８ 　　　　　４＋６　　　 　　 　２４ 　　　　　２＋８　　　 　　 　１６ 　　　　２＋３＋５　　　　　　３０ 　　２＋２＋２＋２＋２　　　　３２ 　う〜む・・・ズバリ「兄数」ではないか。 　小さい数から順に調べてみたりすれば，「３をできるだけ多くするように２と３に 分ければよい」ということに気づくんだろうけど・・・ 　法則を見抜いて解いてしまう子もいるんだろうな・・・たいしたもんだ。

兄さんが作る大きな数(5)
正の数へと拡張すると(1)

問題を少し変えて「自然数をいくつかの正の数の和に分解し・・・」と，正の数に 拡張するとどうでしょうか。 　自然数の和に分解する場合は 　　５＝３＋２ → ３×２＝６ 　　６＝３＋３ → ３×３＝９ 　　７＝３＋２＋２ → ３×２×２＝１２ 　　８＝３＋３＋２ → ３×３×２＝１８ 　　９＝３＋３＋３ → ３×３×３＝２７ 　１０＝３＋３＋２×２ → ３×３×２×２＝３６ 　１１＝３＋３＋３＋２ → ３×３×３×２＝５４ 　１２＝３＋３＋３＋３ → ３×３×３×３＝８１ 　１３＝３＋３＋３＋２×２ → ３×３×３×２×２＝１０８ 　１４＝３＋３＋３＋３＋２ → ３×３×３×３×２＝１６２ 　１５＝３＋３＋３＋３＋３ → ３×３×３×３×３＝２４３ となり， 　　　Ｎ＝３ｎ−１ のとき，兄数＝３ｎ−１×２ 　　　Ｎ＝３ｎ　　 のとき，兄数＝３ｎ 　　　Ｎ＝３ｎ＋１ のとき，兄数＝３ｎ−１×２×２　　（ただし，ｎは自然数） という結論になるのでした。 　さて，自然数ではなく正の数ということにすると「兄数」はどうなるのでしょう。 　一般的に，自然数を何個かの正の数に分割して積をとる場合，均等に分けたときの 積がもっとも大きくなるので， 　　　　Ｎ＝（Ｎ/ｎ）×ｎ　→ （Ｎ/ｎ）ｎ　　（ｎは自然数） としたものが兄数（の候補）ということになります。 　そこで， 　　Ｎ＝（Ｎ/ｎ）×ｎ → （Ｎ/ｎ）ｎ とする ｎ をどう選べば最大なのか が問題となります。 　さて，どう選べばよいのでしょうか？

兄さんが作る大きな数(6)
正の数へと拡張すると(2)

Ｎ＝（Ｎ/ｎ）×ｎ → （Ｎ/ｎ）ｎ とする ｎ をどう選べば最大なのか を考えるために，正の数に拡張した場合の兄数を具体的に求めてみると・・・ 　　４＝（４/２）×２ → ２２＝４ 　　５＝（５/２）×２ → （５/２）２＝６．２５ 　　６＝（６/２）×２ → ３２＝９ 　　７＝（７/３）×３ → （７/３）３＝１２．７０３７０３７・・・ 　　８＝（８/３）×３ → （８/３）３＝１８．９６２９６２９・・・ 　　９＝（９/３）×３ → ３３＝２７ 　１０＝（１０/４）×４ → （１０/４）４＝３９．０６２５ 　１１＝（１１/４）×４ → （１１/４）４＝５７．１９１４０６２５ 　１２＝（１２/４）×４ → ３４＝８１ 　１３＝（１３/５）×５ → （１３/５）５＝１１８．８１３７６ 　１４＝（１４/５）×５ → （１４/５）５＝１７２．１０３６８ 　１５＝（１５/５）×５ → ３５＝２４３ 　だから， 　　　３ｎ−２≦Ｎ≦３ｎ のとき，兄数＝（Ｎ/ｎ）ｎ　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ただし，ｎは２以上の自然数） 　････と結論づけられるのなら解決なのですが，「１５の兄数」は２４３ではなく， 　１５＝（１５/６）×６ → （１５/６）６＝２４４．１４０６２５です。

兄さんが作る大きな数(6)
正の数へと拡張すると(2)

そこで今度は，ｆ（ｘ）＝（Ｎ/ｘ）ｘ として，ｆ（ｘ）が最大となるｘの値を求 めてみると・・・ 　　両辺の対数をとると， log ｆ（ｘ）＝ｘ（log Ｎ−log ｘ） 　　両辺をｘで微分すると， 　　　　　　ｆ’（ｘ）/ｆ（ｘ）＝log Ｎ−log ｘ＋ｘ（−１/ｘ） 　　よって，ｆ’（ｘ）＝（Ｎ/ｘ）ｘ（log Ｎ−log ｘ−１） 　　　　　　　　　　　＝（Ｎ/ｘ）ｘ（log（Ｎ/ｅ）−log ｘ） 　　ｆ'（ｘ）＝０とすると，（Ｎ/ｘ）ｘ≠０なので， 　　　　　　log（Ｎ/ｅ）−log ｘ＝０ 　　ゆえに，log ｘ＝log（Ｎ/ｅ） より，ｘ＝Ｎ/ｅ 　　したがって，（Ｎ/ｘ）ｘ　が最大になるのは ｘ＝Ｎ/ｅ のとき。 　したがって，求める ｎ は Ｎ/ｅ に近い自然数・・・つまり， 　　ｍ＜Ｎ/ｅ＜ｍ＋１となるｍを選べば，ｎ は ｍ か ｍ＋１ のどちらか ということになります。 　どちらなのか・・・実際に計算してみなくてはわからないものなのでしょうか？

兄さんが作る大きな数(7)
拡張した兄数の《浮浪の予想》

自然数Ｎの兄数：自然数Ｎをいくつかの正の数の和の形に分解し，それらを掛け合 　　　　　　　　　わせてできる最大の数 と定義し，その値を Ａ（Ｎ）とすると，Ｎ＝（Ｎ/ｎ）×ｎ→（Ｎ/ｎ）ｎ＝Ａ（Ｎ） となるわけですが， 　ｍ＜Ｎ/ｅ＜ｍ＋１となるｍを選べば，ｎ は ｍ か ｍ＋１ のどちらか だということまではわかりました。 　（Ｎ/ｘ）ｘ のグラフは対称形ではないので，［ｎはｍかｍ＋１のどちらか］ ということ以上のことは実際に計算してみないとわからないとも言えそうですが， 　　ｎ は （Ｎ/ｅ）を四捨五入して得られる値である（ｅは自然対数の底） というのが浮浪の予想です。 　この予想は，次のように，具体的な結果と一致します。 4/e＝1.4715･･→1 A(4)＝41 4＝(4/2)×2→22＝4 5/e＝1.8393･･→2 A(5)＝(5/2)2 5＝(5/2)×2→(5/2)2＝6.25 6/e＝2.2072･･→2 A(6)＝(6/2)2 6＝(6/2)×2→32＝9 7/e＝2.5751･･→3 A(7)＝(7/3)3 7＝(7/3)×3→(7/3)3＝12.7037037･･ 8/e＝2.9430･･→3 A(8)＝(8/3)3 8＝(8/3)×3→(8/3)3＝18.9629629･･ 9/e＝3.3109･･→3 A(9)＝(9/3)3 9＝(9/3)×3→33＝27 10/e＝3.6787･･→4 A(10)＝(10/4)4 10＝(10/4)×4→(10/4)4＝39.0625 11/e＝4.0466･･→4 A(11)＝(11/4)4 11＝(11/4)×4→(11/4)4＝57.19140625 12/e＝4.4145･･→4 A(12)＝(12/4)4 12＝(12/4)×4→34＝81 13/e＝4.7824･･→5 A(13)＝(13/5)5 13＝(13/5)×5→(13/5)5＝118.81376 14/e＝5.1503･･→5 A(14)＝(14/5)5 14＝(14/5)×5→(14/5)5＝172.10368 15/e＝5.5181･･→6 A(15)＝(15/6)6 15＝(15/6)×6→(15/6)6＝244.140625 　だからといって《浮浪の予想》が正しいことが証明されたわけではありませんが， ここにその証明を記すには余白が小さすぎる・・・ってのはウソで，その証明を記す には浮浪の能力がたりなすぎる・・・(ｰｰ;) ｳ 　すみませんが，どなたか証明してくれませんか？