【質問】
　あなたは「倍数の見分け方」というのを知っていますか？



　例えば，ある数が「２の倍数」であるかどうかですが，実際に２で割ってみなく
ても「１の位の数だけ」を見てみればわかりますよね。

　　　　　２の倍数かどうか　　　実際に割ってみると
　23456･･･　　　○　　　　　　　23456÷２＝11728
　12345･･･　　　×　　　　　　　12345÷２＝6172 あまり 1
　76543･･･　　　×　　　　　　　76543÷２＝38271 あまり 1
　38572･･･　　　○　　　　　　　38672÷２＝19336

　このように，１の位の数字が０，２，４，６，８のいずれかであれば，その数は
２の倍数で，１の位の数字が１，３，５，７，９なら２の倍数ではない。
と，見分けることができます。

　この見分け方を，
　　　　２の倍数･･･「１の位の数」が２の倍数であること
と書くことにします。


【討論】
　その他の倍数の見分け方について，知っている人がいれば出し合いましょう。

　２の倍数･･･「１の位の数」が２の倍数であること
　３の倍数･･･
　４の倍数･･･
　５の倍数･･･
　６の倍数･･･
　８の倍数･･･
　９の倍数･･･

よく知られている倍数の見分け方は
　２の倍数･･･「１の位の数」が２の倍数であること
　３の倍数･･･「各位の数の和」が３の倍数であること
　４の倍数･･･「下２桁の数」が４の倍数であること
　５の倍数･･･「１の位の数」が５の倍数であること
　６の倍数･･･「２の倍数」かつ「３の倍数」であること
　８の倍数･･･「下３桁の数」が８の倍数であること
　９の倍数･･･「各位の数の和」が９の倍数であること
です。

　どうして，このような方法で見分けることができるのか，あなたは説明できます
か？

　例えば，９の倍数･･･「各位の数の和」が９の倍数であること　の説明は次のよ
うにすることができます。

簡単のため，３桁の数について考える。

　100の位の数をａ，10の位の数をｂ，１の位の数をｃとすると，
３桁の整数は 100ａ＋10ｂ＋ｃ と表すことができる。

　この式は，
　　100ａ＋10ｂ＋ｃ＝(99ａ＋ａ)＋(9ｂ＋ｂ)＋ｃ
　　   　　　　　　＝99ａ＋9ｂ＋ａ＋ｂ＋ｃ
　　   　　　　　　＝9(11ａ＋ｂ)＋(ａ＋ｂ＋ｃ)
と変形できる。

　9(11ａ＋ｂ)は９の倍数なので，(ａ＋ｂ＋ｃ)が９の倍数ならば，
３桁の整数 100ａ＋10ｂ＋ｃ は９の倍数になる。

　例えば，756なら，7＋5＋6＝18 ← ９の倍数だから 756も９の倍数。
　　　　　　　　　　　　　　　（実際，756＝9×84 で，９の倍数ですね。）

　９の倍数の例にならって，
　　３の倍数･･･「各位の数の和」が３の倍数であること
を説明してみましょう。


　　　　※以下，他の数の倍数の見分け方の文字を使った説明をいくつか
　　　　　体験させたい。（ここでは省略）


　ところで，上の倍数の見分け方には「７の倍数」がありませんが，あなたは
「７の倍数」の見分け方があると思いますか？

　　　　　　あると思う　　　　　ないと思う

　「あると思う」と言う人は，どんな方法か予想して発表してみましょう。

　「７の倍数」の見分け方ですが，よく知られた方法に，次のような見分け方があ
ります。

　７の倍数･･･１の位から３桁ずつの群に分けて、(左から)奇数番目の群の和
　　　　　　 と偶数番目の群の和との差が７の倍数であること。

　　　例えば，19980373 なら
　　　　　19,980,373 → 980−(19＋373)＝588 ←７の倍数
　　というわけです。
　　　　　　（実際，19980373＝７×2854339 で，７の倍数です）

　この方法は，
                      1000＋1＝７×143
                   1000000−1＝７×142857
                1000000000＋1＝７×142857143
             1000000000000−1＝７×142857142857
          1000000000000000＋1＝７×142857142857143
       1000000000000000000−1＝７×142857142857142857

といった性質を利用したものです。

　この，
　７の倍数･･･１の位から３桁ずつの群に分けて、(左から)奇数番目の群の和
　　　　　   と偶数番目の群の和との差が７の倍数であること
の説明は次のようにすることができます。

簡単のため，12桁以下の数について考える。

12桁の数を 109ａ＋106ｂ＋103ｃ＋ｄ（ａ,ｂ,ｃ,ｄは３桁の数）と
すると，
109ａ＋106ｂ＋103ｃ＋ｄ
　　　＝(109ａ＋ａ−ａ)＋(106ｂ−ｂ＋ｂ)＋(103ｃ＋ｃ−ｃ)＋ｄ
　　　＝109ａ＋ａ＋106ｂ−ｂ＋103ｃ＋ｃ−ａ＋ｂ−ｃ＋ｄ
　　　＝7(142857143ａ＋142857ｂ＋143ｃ)−(ａ−ｂ＋ｃ−ｄ)
と変形できる。

　7(142857143ａ＋142857ｂ＋143ｃ)は７の倍数なので，
　ａ−ｂ＋ｃ−ｄ が７の倍数ならば，12桁の数
　109ａ＋106ｂ＋103ｃ＋ｄ は７の倍数になる。

ここで，ａ−ｂ＋ｃ−ｄを(ａ＋ｃ)−(ｂ＋ｄ)とみれば，これは，
「１の位から３桁ずつの群に分けたときの、奇数番目の群の和と偶
数番目の群の和との差」といえます。

　さて，これで２〜９の倍数についての見分け方がそろいました。

２〜９の倍数の見分け方

　２の倍数･･･「１の位の数」が２の倍数であること
　３の倍数･･･「各位の数の和」が３の倍数であること
　４の倍数･･･「下２桁の数」が４の倍数であること
　５の倍数･･･「１の位の数」が５の倍数であること
　６の倍数･･･「２の倍数」かつ「３の倍数」であること
　７の倍数･･･１の位から３桁ずつの群に分けて、(左から)奇数番目の群の和
　　　　　　 と偶数番目の群の和との差が７の倍数であること。
　８の倍数･･･「下３桁の数」が８の倍数であること
　９の倍数･･･「各位の数の和」が９の倍数であること


　こうしてみると，それぞれの見分け方はバラバラで，特にも「７の倍数」につい
ては，見分けるための計算も複雑ですよね。
　８の倍数も「下３桁の数が････」だから実際に割ってみる必要があるようにも見
えるけど，８＝２×４だから，「２の倍数」や「４の倍数」でないのは８の倍数で
はないので，判定そのものはそんなに大変ではありません。

　最後に「３桁の数」が７の倍数になっているかどうかは実際に７で割ってみなけ
ればならないというのがどうもねぇ・・・(^^;)ﾒﾝﾄﾞｳｸｻｲ

　そこで，３桁の数（例えば 588）が７の倍数であるかどうかの見分け方もあるの
で紹介しておきましょう。

３桁の数（例えば 588）が７の倍数であるかどうかの見分け方は

３桁の整数を 100ａ＋10ｂ＋ｃ とし，７×14＝98 であることを利用し
て，
　100ａ＋10ｂ＋ｃ＝(98ａ＋2ａ)＋10ｂ＋ｃ
　   　　  　　　＝98ａ＋(2ａ＋10ｂ＋ｃ) と変形する。

　98ａは７の倍数なので，2ａ＋10ｂ＋ｃ が７の倍数であればよい。

というものです。
　つまり，
　　　588 → 5×2＋88＝98 ←７の倍数だから，588 も７の倍数
　というわけです。


【質問】　
　これで少しは見分けるための計算が楽にはなったけど，逆に「見分け方」が複雑
になってしまい，覚えにくい（ということは使いにくい）ですよね。
　もっと，かんたんな「７の倍数」の見分け方はないのでしょうかねぇ・・・
あなたはどう思いますか？

　　　ありそうな気がする　　　　なさそうな気がする　　　関心がない

　“かんたん”かどうかは，それぞれの感じ方によって違いますが，次のような
「７の倍数」の見分け方もあるので紹介します。


　７の倍数･･･１の位の数と10以上の位の数に分けて，10以上の位の数と
　　　　　　 １の位の数の２倍との差が７の倍数であること。


　例えば，1946 なら
　　1946→194,6 → 194
　　    　        −12
　　    　      　 182→18,2 →  18
　　    　      　    　       − 4
 　    　      　    　    　　  14←７の倍数
　　　　　　　　　　　（実際，1946＝７×278 で，７の倍数です）


　なぜこのような方法で見分けることができるのか，その理由は次のように説明す
ることができます。

ａを10以上の位の数，ｂを１の位の数として，整数を 10ａ＋ｂ とし，
　　10ａ＋ｂ＝10ａ−20ｂ＋21ｂ
　　　　　　＝10(a−2ｂ)＋21ｂ と変形する。
 21ｂは７の倍数なので，10(ａ−2ｂ)が７の倍数ならば，10ａ＋ｂは７
の倍数になる。

  10(ａ−2ｂ)が７の倍数になるには ａ−2ｂ が７の倍数でなければな
らないので，10ａ＋ｂ が７の倍数かどうかは，ａ−2ｂ が７の倍数か
どうかで判定できる。

　これで２種類の「７の倍数」の見分け方がでましたね。

　２種類の「７の倍数」の見分け方

　1)７の倍数･･･１の位から３桁ずつの群に分けて、(左から)奇数番目の群の和
　　　　　　　 と偶数番目の群の和との差が７の倍数であること。

　2)７の倍数･･･１の位の数と10以上の位の数に分けて，10以上の位の数と
　　　　　　　 １の位の数の２倍との差が７の倍数であること。


【質問】
　あなたはどちらの見分け方が“かんたん”だと感じますか？

　　1)の方　　　　　　2)の方　　　　　どちらとも言えない

　ある方法が簡単かどうかは個人の感性や趣味の問題です。ですから，誰が何と言
おうと，あなた自身が「簡単だ」と思う方が“かんたん”なのです。(^^;)


　さて，“かんたん”かどうかは別にして（だって個人の問題だもんね），倍数の
見分け方の［法則性］を探ることにしましょう。

　これまでの見分け方をまとめると

　２の倍数･･･「１の位の数」が２の倍数であること
　３の倍数･･･「各位の数の和」が３の倍数であること
　４の倍数･･･「下２桁の数」が４の倍数であること
　５の倍数･･･「１の位の数」が５の倍数であること
　６の倍数･･･「２の倍数」かつ「３の倍数」であること
1)７の倍数･･･１の位から３桁ずつの群に分けて、(左から)奇数番目の群の和
　　　　　　 と偶数番目の群の和との差が７の倍数であること。
2)７の倍数･･･１の位の数と10以上の位の数に分けて，10以上の位の数と
　　　　　　 １の位の数の２倍との差が７の倍数であること。
　８の倍数･･･「下３桁の数」が８の倍数であること
　９の倍数･･･「各位の数の和」が９の倍数であること

となりますが，これらの見分け方に法則性（統一性，一貫性，共通性）があるよう
にはみえません。

　２の倍数･･･「１の位の数」が２の倍数であること
　３の倍数･･･「各位の数の和」が３の倍数であること

の２つだけをとってみても，「一体どこに法則性（共通性）があるの？」という感
じです。

　ですが，実は，法則性（共通性）があるのです。（すごいですねぇ〜）

　さ，つづきへと進みましょう。(^_^)

　倍数の見分け方の法則性を探るために，もう一つの「７の倍数」の見分け方を考
えてみます。
　何桁の整数でもいいのですが，とりあえず６桁の整数で考えることにしましょう
か。

　６桁の整数Ｎを 100000f＋10000e＋1000d＋100c＋10b＋a として，次のように
変形します。

Ｎ＝(7×14285+5)f＋(7×1428+4)e＋(7×142+6)d＋(7×14+2)c＋(7×1+3)b＋a
　＝7(14285f＋1428e＋142d＋14c＋b)＋(a＋3b＋2c＋6d＋4e＋5f)

　よって，(a＋3b＋2c＋6d＋4e＋5f)が７の倍数ならば，Ｎは７の倍数です。


　ところで，この(a＋3b＋2c＋6d＋4e＋5f)はどのような特徴をもっているものな
のでしょう。(ﾟ-ﾟ)！

　係数にあたる 1,3,2,6,4,5 は，1,10,100,1000,10000,100000 をそれぞれ７
で割った余りで，これらの数字は，１÷７における「余り」を見ていくと

　  0  　　　  01  　　  014  　　  0142  　　  01428
　7)1  　　　7)1   　　7)1    　　7)1     　　7)1
　  0  　　　  0   　　  0    　　  0     　　  0 
　  1･･余り　  10  　　  10   　　  10    　　  10
　     　　　   7  　　   7   　　   7    　　   7 
　     　　　   3･･余り   30  　　   30   　　   30
　     　　　      　　   28  　　   28   　　   28 
　     　　　      　　    2･･余り    20  　　    20
　     　　　      　　       　　    14  　　    14 
　     　　　      　　       　　     6･･余り     60
　     　　　      　　       　　        　　     56
　     　　　      　　       　　        　　      4･･余り

というように出てくる数字で，「余り」は「1→3→2→6→4→5→1」と巡回してい
ます。

　つまり，(a＋3b＋2c＋6d＋4e＋5f)は
　　・１÷７の「余り」の系列　1，3，2，6，4，5　　と
　　・１の位からの各位の数　　a，b，c，d，e，f　　との［積和］である
と言えます。

　よって，この見分け方は

 ７の倍数･･･１÷７の「余り」の系列と１の位からの各位の数との積和が
 　　　　　 ７の倍数であること。

と表現できます。

　さて，この考え方（表現）を他の数の見分け方にあてはめてみましょう。

●２の倍数
　　２の倍数･･･１÷２の「余り」の系列と１の位からの各位の数との積和が
　　　　　　　 ２の倍数であること。
　　・１÷２の「余り」の系列　1，0，0，0，0，0
　　・１の位からの各位の数　　a，b，c，d，e，f
　だから，積和 a が２の倍数ならＮも２の倍数。
　　これは，
　　２の倍数･･･「１の位の数」が２の倍数であること
　と同じことですね。

●３の倍数
　　・１÷３の「余り」の系列　1，1，1，1，1，1
　　・１の位からの各位の数　　a，b，c，d，e，f
　だから，積和 a＋b＋c＋d＋e＋f が３の倍数ならＮも３の倍数。
　　これは，
　　３の倍数･･･「各位の数の和」が３の倍数であること
　と同じことですね。

●４の倍数
　　・１÷４の「余り」の系列　1，2，0，0，0，0
　　・１の位からの各位の数　　a，b，c，d，e，f
　だから，積和 a＋2b が４の倍数ならＮも４の倍数。
　　これは　
　　４の倍数･･･「下２桁の数」が４の倍数であること
　と少し違っていますが，「下２桁の数」(10b＋a)は
　　10b＋a＝(8b＋2b)＋a
　　　　　＝4×2b＋(a＋2b) と変形できることを考えてみれば，むしろ「積和」
を取る方が見分け方としては合理的といえるでしょう。（その気になれば１桁の
数にして判定できるのだから）

　以下，どのような数に対しても，その数の倍数であるかどうかの判定は，


［１÷ｎの「余り」の系列］ と ［１の位からの各位の数］の［積和］

という原理（法則）で，一貫して取り扱うことができるのです。

　なお，
Ｎ＝(7×14285+5)f＋(7×1428+4)e＋(7×142+6)d＋(7×14+2)c＋(7×1+3)b＋a
　＝7(14285f＋1428e＋142d＋14c＋b)＋(a＋3b＋2c＋6d＋4e＋5f)
とした変形を
Ｎ＝(7×14286-2)f＋(7×1428+4)e＋(7×143-1)d＋(7×14+2)c＋(7×1+3)b＋a
　＝7(14286f＋1428e＋143d＋14c＋b)＋(a＋3b＋2c−d＋4e−2f)
としても良いこことを考えれば，値の大きい「余り」については，その代わりに負
の数を用いても良いことは明らかでしょう。

　このことを用いると，今まで扱ってこなかった「11の倍数」の見分け方について
も，伝統的には，
　11の倍数･･･奇数番目の桁の和と偶数番目の桁の和との差が11の倍数である
　　　　　　 こと。
ですが，
　・１÷11の「余り」の系列　1，10，1，10，1，10
だから，10の代わりに -1 とすれば
　・１÷11の「余り」の系列　1，-1，1，-1，1，-1
　・１の位からの各位の数　　a， b，c， d，e， f
なので，伝統的な方法も，積和 a−b＋c−d＋e−f と同じ判定方法であることが
理解できるでしょう。


結局，「倍数の見分け方」は

 ｎの倍数･･･１÷ｎの「余り」の系列と１の位からの各位の数との積和
 　　　　   がｎの倍数であること。

と，一つの表現にまとめることができるのでした。

ちょっと気になって「オマケ」をば・・・(^^;)

(5)に書いた
　　ｎの倍数･･･１÷ｎの「余り」の系列と１の位からの各位の数との積和
 　　　　　    がｎの倍数であること。
の部分ですが，これだけでは，

　1)７の倍数･･･１の位から３桁ずつの群に分けて、(左から)奇数番目の群の和
　　　　　　　 と偶数番目の群の和との差が７の倍数であること。

との整合性はどうなるのだ？と気になる方も出てくることでしょう。

　そのときは，
　　［１÷ｎの「余り」の系列］と［１の位からの各位の数］
を拡大解釈して，
　　「３桁」を「各位」と解釈するのだ
ということにしましょう。

　そうすれば，
　   142  　　    142857  　　    142857142
　7)1000  　　 7)1000000　　　 7)1000000000
　   994  　　    994     　　    994   
　     6･･余り      6000   　　     6000
　        (-1)　　  5999  　　      5999   
　        　　         1･･余り         1000
　        　　            　　          994
　        　　            　　            6･･余り
　        　　            　　               (-1)
ですから
　・１÷７の「余り」の系列　-1，1，-1，1，････
　・１の位からの各位の数　　 a，b， c，d，････
の積和をとることと同値になります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以上，オマケでした。(^^;)

　え？

　2)７の倍数･･･１の位の数と10以上の位の数に分けて，10以上の位の数と
　　　　　　　 １の位の数の２倍との差が７の倍数であること。

との整合性はどうなのか，ですって？

　そ，それは・・・え〜〜〜〜〜〜っと・・・・・ま，いいじゃあ〜りませんか，
そんなに整合性ばかり追及しなくてもさ・・・(^^ゞ


　　　　　　　　「いい加減が良い加減」って言うじゃないですか(^｡^)ﾈｯ



　　　　　　　　　　　　　　　　　おしまい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　(^｡^)/~~~