もくじ
問題の概要 |
何倍かすると，末尾の数字が先頭に引っ越す自然数があるという。
（例えば，34567 が 73456 になるといった具合） どんな自然数なのかな？ |
 数字の引っ越し(1)：２倍すると末尾の２が先頭に？数字の引っ越し(2)：末尾が３〜９だと？数字の引っ越し(3)：３倍すると末尾の３が先頭に？数字の引っ越し(4)：数がローテーション？数字の引っ越し(5)：４倍すると？数字の引っ越し(6)：５倍すると？数字の引っ越し(7)：どうして７だけ・・・数字の引っ越し(8)：６倍すると？数字の引っ越し(9)：７倍すると？数字の引っ越し(10)：８倍，９倍では？数字の引っ越し(11)：まとめ数字の引っ越し(12)：秘密を数学的に探る | |
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参考文献等 |
『算数にチャレンジ』第２１３回問題 |
数字の引っ越し(1)
【問題】（『算数にチャレンジ』第２１３回の問題） |
数字の引っ越し(2)
どうでしたか。 続けていくと， 105263157894736842 × 2 210526315789473684 となりますね。 というわけで， |
数字の引っ越し(3)
一の位を３とすると， 一の位を４とすると， 一の位を５とすると， 157894736842105263 210526315789473684 263157894736842105 × 2 × 2 × 2 315789473684210526 421052631578947368 526315789473684210 一の位を６とすると， 一の位を７とすると， 一の位を８とすると， 315789473684210526 368421052631578947 421052631578947368 × 2 × 2 × 2 631578947368421052 736842105263157894 842105263157894736 一の位を９とすると， 473684210526315789 × 2 947368421052631578 というわけで，全部求められました。(^o^) ところで，これらの数は，どれも同じ18個の数字の並び（ローテーション）になっ ています。(ﾟoﾟ) 感動ですねぇ〜 一の位が２：105263157894736842 ３： 157894736842105263 ４： 210526315789473684 ５： 263157894736842105 ６： 315789473684210526 ７： 368421052631578947 ８： 421052631578947368 ９： 473684210526315789 ★この 105263157894736842 という18桁の整数には，いろいろと 興味深い性質があります。 それでは，２倍ではなく，３倍だとどうなるのでしょうか。 【問題】 |
数字の引っ越し(4)
一の位を３とすると， 1034482758620689655172413793 × 3 3103448275862068965517241379 という28桁の整数になります。 となると，次は「一の位を４とすると」ですが，実際にやってみる前に予想して みましょう。 【予想】 この28桁の整数も，105263157894736842 のときのようにローテーションする数 なのでしょうか。 もしもそうだとすると，一の位が４なら 1379310344827586206896551724 とな るハズですが・・・ ア：そうなるだろう イ：そうはならないだろう ウ：そんなこと興味ない |
数字の引っ越し(5)
一の位を４とすると， 1379310344827586206896551724 × 3 4137931034482758620689655172 となります。 どうやらこの28桁の整数もローテーションする数のようですね。(ﾟoﾟ) 一の位が３：1034482758620689655172413793 ４： 1379310344827586206896551724 ５： 1724137931034482758620689655 ６： 2068965517241379310344827586 ７： 2413793103448275862068965517 ８： 2758620689655172413793103448 ９： 3103448275862068965517241379 感動ですねぇ〜 ★この28桁の整数 1034482758620689655172413793 にも 興味深い性質があります。自分で確めましょう。 では，４倍だとどうなるのでしょう？ 【問題】 |
数字の引っ越し(6)
一の位を５ 一の位を６ 一の位を７ 一の位を８ 一の位を９ とすると， とすると， とすると， とすると， とすると， 128205 153846 179487 205128 230769 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 512820 615384 717948 820512 923076 かろうじて，128205 と 205128 がローテーションの関係といえるだけで，２倍 や３倍のときとは様子が違いますね。 これはどうしてなのでしょう？(｡_ﾟ)？ その理由を考える前に，５倍ではどうなるのかを確めてみましょう。 【問題】 |
数字の引っ越し(7)
一の位を７とすると， 142857 × 5 714285 アではなかったですねぇ。(ｰｰ;) 一の位を８としてみると， 163265306122448979591836734693877551020408 × 5 816326530612244897959183673469387755102040 一の位を９とすると， 183673469387755102040816326530612244897959 × 5 918367346938775510204081632653061224489795 というわけで，一の位が７のときだけローテーションから外れる・・・ウが正解。 この結果を並べてみると・・・ 一の位が ５：102040816326530612244897959183673469387755 ６： 122448979591836734693877551020408163265306 ７：142857 ８： 163265306122448979591836734693877551020408 ９： 183673469387755102040816326530612244897959 ７だけ仲間はずれみたいですね。どうしてなのでしょう？ 不思議ですねぇ〜 ★この42桁の整数 102040816326530612244897959183673469387755 にも 興味深い性質が見られるのでしょうか？ それはあなた自身で確めてみましょう。(^^;) では，次に・・・ |
数字の引っ越し(8)
さてさて，６倍ではどうなるのでしょう？ 【問題】 |
数字の引っ越し(9)
1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966 × 6 6101694915254237288135593220338983050847457627118644067796 ありましたねぇ。 それにしても58桁とは・・・人生，諦めちゃいけないってことですな。(^_^) ところで，一の位を７にするとどうなるかというと・・・ 1186440677966101694915254237288135593220338983050847457627 × 6 7118644067796610169491525423728813559322033898305084745762 ８にすると？ 1355932203389830508474576271186440677966101694915254237288 × 6 8135593220338983050847457627118644067796610169491525423728 ９では？ 1525423728813559322033898305084745762711864406779661016949 × 6 9152542372881355932203389830508474576271186440677966101694 ６倍だとローテーションするという結果になりましたね。 それにしても，いろいろなパターンがあるもんですなぁ・・・(ｰ_ｰ) そういうわけで（何がじゃ？），７倍ではどうなるのでしょう。 【問題】 |
数字の引っ越し(10)
一の位を８とすると， ９とすると， 1159420289855072463768 1304347826086956521739 × 7 × 7 8115942028985507246376 9130434782608695652173 全部バラバラ・・・(ｰ_ｰ) ８倍ではどうなる？ 【問題】 |
数字の引っ越し(11)
【問題】 |
数字の引っ越し(12)
「Ａ倍すると，末尾の数字が先頭に引っ越す自然数Ｎ」を Ｎ＝10Ｍ＋Ｂ とすると， Ａ(10Ｍ＋Ｂ)＝Ｂ10ｎ＋Ｍ となる。 よって，(10Ａ−１)Ｍ＝(10ｎ−Ａ)Ｂ だから，Ｅ＝(10ｎ−Ａ)／(10Ａ−１)とおくと， Ｍ＝ＥＢ だから，Ｎ＝10Ｍ＋Ｂ より Ｎ＝(10Ｅ＋１)Ｂ ところで， １／(10Ａ−１)は循環小数だから，循環節の長さを ｍ とすると，(10ｍ−１)は (10Ａ−１)の倍数になるから，(10ｍ−１)−(10Ａ−１)も(10Ａ−１)の倍数。 (10ｍ−１)−(10Ａ−１)＝10ｍ−10Ａ で，10と(10Ａ−１)は互いに素だから (10ｍ−10Ａ)／10 は(10Ａ−１)の倍数。 したがって，Ｅ＝(10ｍ−10Ａ)／10(10Ａ−１) としてよい。 そうすると， 10Ｅ＋１＝(10ｍ−10Ａ)／(10Ａ−１)＋(10Ａ−１)／(10Ａ−１) ＝(10ｍ−１)／(10Ａ−１) これは，循環小数１／(10Ａ−１)の循環節部分が整数になるように(10ｍ−１)倍した式。 だから，「Ａ倍すると，末尾の数字が先頭に引っ越す自然数Ｎ」は Ｎ＝〈循環節部分の数〉×Ｂ である。 つまり， ■Ａ＝２のとき，10Ａ−１＝19 １／19＝0.[052631578947368421]（[････]は循環節） だから Ｎ＝052631578947368421Ｂ ■Ａ＝３のとき，10Ａ−１＝29 １／29＝0.[0344827586206896551724137931] だから Ｎ＝0344827586206896551724137931Ｂ ■Ａ＝４のとき，10Ａ−１＝39 １／39＝0.[025641] だから Ｎ＝025641Ｂ ■Ａ＝５のとき，10Ａ−１＝49 １／49＝0.[020408163265306122448979597836734693877551] だから Ｎ＝020408163265306122448979597836734693877551Ｂ といった具合になるってこと。 で，Ａ＝５，Ｂ＝７のときは，49＝７×７ だから１／７＝0.[142857]になるわけ。 おしまい。(^｡^) |