「６１７４」という４ケタの数は「カプレカ数」と呼ばれています。カプレカ
というのは，４ケタの数の“不思議な事実”を発見したインド人の名前です。

■４けたの数「６１７４」の“不思議な事実”

　全部が同じ数字ではない４ケタの数は，「数字を並べかえてできる最大の数から
最小の数を引く」という計算を繰り返すと，最後は必ず「６１７４」になる。

　本当なのでしょうか？　実際に「１９９５」で試してみましょう。

　　　　１９９５⇒　８３６２⇒　６２６４⇒　４１７６⇒　６１７４
　　 　　　↓　　　　　↓　　　　　↓　　　　　↓
最大　　９９５１　　８６３２　　６６４２　　７６４１
最小　−１５９９　−２３６８　−２４６６　−１４６７
　　　　８３６２　　６２６４　　４１７６　　６１７４ (ﾟoﾟ)ｵｯ!

  　　　　　　　　　　　※この「６１７４」は並べかえても，
　  　　　　　　　　　　　最大　７６４１
　　  　　　　　　　　　　最小−１４６７
　　　  　　　　　　　　　　　　６１７４　ですから，「最後」と言えます。

■あなたも試してみましょう

・全部が同じ数字ではない４ケタの数を選んで下さい。
　　　　　（あなたの家の電話番号でもよいでしょう）

　　　　※「３０８４」などの場合は，最大＝８４３０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　最小＝０３４８　として下さい。

　どうでしたか？　やはり「６１７４」になったでしょ。(^_^)

　「１１１１」というように全部が同じ数字だと「００００」になってしまいます
が，それ以外のどんな４ケタの数も，最後には６１７４になるのです。
　どうして「６１７４」なのでしょうね。　　不思議ですね〜

　４ケタの数は「６１７４」になりました。
　では，違うケタ数ではどうなるのでしょうか？


■３ケタの場合
　「００１」で試してみると・・・・

　　　　００１⇒　０９９⇒　８９１⇒　７９２⇒　６９３⇒　５９４⇒　４９５
　　　　　↓　　　　↓　　　　↓　　　　↓　　　　↓　　　　↓　　　　↓
最大　　１００　　９９０　　９８１　　９７２　　９６３　　９５４　　９５４
最小　−００１　−０９９　−１８９　−２７９　−３６９　−４５９　−４５９
　　　　０９９　　８９１　　７９２　　６９３　　５９４　　４９５　　４９５

どうやら，「４９５」になりそうですね。
　ほかの３ケタの数でも確かめてみましょう。(^_^)


■２ケタの場合
　「０１」で試してみると・・・・

　　　　０１⇒　０９⇒　８１⇒　６３⇒　２７⇒　５４
　　 　　↓　　　↓　　　↓　　　↓　　　↓　　　↓
最大　　１０　　９０　　８１　　６３　　７２　　５４
最小　−０１　−０９　−１８　−３６　−２７　−４５
　　　　０９　　８１　　６３　　２７　　４５　　０９

どうやら，特定の数になるのではなく，まわりはじめる（巡回する）ようですね。
　ほかの２ケタの数でも確かめてみましょう。(^_^)

　今度はケタ数を増やしてみましょう。さて，どうなるのでしょう？

■５ケタの場合
　「００００１」で試してみましょう。

　　  00001⇒ 09999⇒ 89991⇒ 80982⇒ 95921⇒ 86922⇒ 75933⇒ 63954⇒
　　   ↓      ↓      ↓      ↓      ↓      ↓      ↓      ↓
最大  10000　 99990 　99981 　98820 　99521 　98622 　97533 　96543
最小 -00001　-09999　-18999　-02889　-12599　-22689　-33579　-34569
　　  09999　 89991 　80982 　95921 　86922 　75933 　63954 　61974

 ⇒ 61974⇒ 82962⇒
     ↓      ↓
  　97641 　98622
　 -14679　-22689
  　82962 　75933　　どうやら巡回するようですね。(^_^)

　実は，５ケタの場合は，すべてが「００００１」のような巡回になるわけではな
く，全部で３種類の巡回パターンがあります。
　　　※上記以外の２つの巡回パターンは，あなた自身で見つけてみましょう。

　これまでのことをまとめると・・・


●２ケタの場合･･････巡回する（パターンは１つ）

●３ケタの場合･･････４９５に到達

●４ケタの場合･･････６１７４に到達

●５ケタの場合･･････巡回する（パターンは３つ）

　６ケタ，７ケタ・・・・とケタ数が増えて行くとどうなるのでしょうね。
　ぜひ，予想を立てて挑戦してみて下さい。 p(^o^)q ﾌｧｲﾄ

　カプレカの綴りは Kaprekar で，カプレカーと表記されることもあるようです。
　　　※もしかすると，「カプレカー」という表記の方が多いのかも知れません。

　この「６１７４の不思議」が発表されたのは 1949年 とのことです。三省堂の数
学Ａの教科書の章末のコラムにカプレカ数のことが出ており，「連立方程式をもち
いて証明した」ということが書いてあるそうですが，カプレカ自身が証明をしたと
は書かれていないそうです。
　（実際にその教科書をみたことがないので，すべて伝聞調です。(^^;）

　カプレカはこの「６１７４の不思議」以外にも，不思議な趣きをもつ数表を山の
ように作り，それを個人出版して売り歩いていたそうで，次のような定理もその一
つだそうです。

　カプレカの定理

　「任意の自然数にその桁の数の和を加える」という操作を繰り返すと，やがては
３つの系列のどれかに合流する。どの系列になるかは

　(1)　３で割り切れない

　(2)　３で割り切れるが９で割り切れない

　(3)　９で割り切れる

のどれであるかによって決まる。

　この定理の主張を具体的に示すと・・・

(1)
  1   2   4   8  16  23  28  38  49  62  70  77  91 101 103 107
115 122 127 137 148 161 169 185 199 218 229 242 250 257 271 281
292 305 313 320 325 335 346 359 376 392 406 416 427 440 448 464
478 497 517 530 538 554 568 587 607 620 628 644 658 677 697 719
736 752 766 785 805 818 835 851 865 884 904 917 934 950 964 983…
(2)
  3   6  12  15  21  24  30  33  39  51  57  69  84  96 111 114
120 123 129 141 147 159 174 186 201 204 210 213 219 231 237 249
264 279 294 309 321 327 339 354 366 381 393 408 420 426 438 453
465 480 492 507 519 534 546 561 573 588 609 624 636 651 663 678
699 723 735 750 762 777 798 822 834 849 870 885 906 921 933 948
969 993…
(3)
  9  18  27  36  45  54  63  72  81  90  99 117 126 135 144 153
162 171 180 189 207 216 225 234 243 252 261 270 279 297 315 324
333 342 351 360 369 387 405 414 423 432 441 450 459 477 495 513
522 531 540 549 567 585 603 612 621 630 639 657 675 693 711 720
729 747 765 783 801 810 819 837 855 873 891 909 927 945 963 981…

という３つの系列があり，すべての自然数はやがてこの３つの系列のどれかに合流
するということ。

　ちなみに，(1)の系列になるはずの 5 は，
     5  10  11  13  17  25  32  37  47  58  71  79  95 109 119 130
   134 142 149 163 173 184 197 214 221 226 236 247 260 268 284 298
   317 328 341 349 365 379 398 418 431 439 455 469 488 508 521 529
   545 559 578 598 620 628 644 658…

となって，620で(1)と合流します。

　それにしても・・・他の数でも本当に合流するんでしょうかね。ヽ(^^;)ｵｲｵｲ