正解者掲示板から
[3150] ひし形ダイヤグラム
2025年03月01日(土) 21時12分
ダイヤグラムを描いたときに、網目の交点が多くなればよい。
交点＝●がぶつかる所　にあたる。

スタートボタンを押したときに、左半分の４５個が右に移動、右半分の４５個が
左に移動した時を考える。
ダイヤグラム上では下半分の４５個の点から１本ずつ右上に４５本、上半分の
４５個の点から１本ずつ右下に４５本出たような図になる。
この時の交点の数は、４５×４５＝２０２５　個になる。
営業本部 相談役 みかん
(2025年03月01日(土) 21時21分 )
2n個の場合n^2になるのかとおもいまして。
無所属 名誉会長 さいと散

(2025年03月01日(土) 21時32分 )
>>2n個の場合n^2になるのかとおもいまして

同じく、全く自信がなかったので、１０分待ちました。
無所属 名誉会長 teki

(2025年03月01日(土) 21時33分 )
最多は左右の半分同士が、それぞれ反対に向いて衝突するときで、最終的には、半分がそれぞれ両端に向かうので、みかんさんと同様に、右の半分が左へ、左の半分が右へ向かうと考えれば(多分有名な発想？)、半分同士がすべて衝突してることになる。so...

45^2=2025
無所属 相談役 スモークマン

(2025年03月01日(土) 22時23分 )
なるほど、ダイヤグラムを描いてみるんでしたね。


無所属 ＣＥＯ なか

(2025年03月01日(土) 22時25分 )
簡単にするために、斜めの線から縦と横の線に変えて考える。交点の数＝ぶつかる回数
となるのは同じ。できるだけ交点が増えるように１本ずつ足していく。
なお、縦線と横線は直角に交わり、縦線どうし・横線どうしはそれぞれ平行とする。

線が２本だとすると、縦線・横線各１本で交点は１か所…（あ）
線が３本だとすると、（あ）に縦線か横線を１本加えるので交点は２か所…（い）
線が４本だとすると、（い）に２か所で交わるように線を加えて、交点は４か所…（う）
線が５本だとすると、（う）に２か所で交わるように線を加えて、交点は６か所…（え）
線が６本だとすると、（え）に３か所で交わるように線を加えて、交点は９か所…（お）
※縦線と横線を交互に加えていくと考えても良い。

（う）・（お）の場合＝線が偶数本＝●が偶数個　のときは、格子状のマス目のような
状態になる。つまり、ｎ本（ｎが偶数）のとき、交点の数＝（ｎ／２）の２乗　である。

したがって、●が９０個のときの交点の数は、（９０／２）＾２＝４５×４５＝２０２５個。　
営業本部 相談役 みかん

(2025年03月01日(土) 22時34分 )
想定解は、「ぶつかる回数」＝「すれ違う回数」として考える、でした。
顧問室 常任顧問 浮浪

(2025年03月01日(土) 22時39分 )
結構、有名な問題じゃないかと思い、例示を５個にするか６個にするか悩みました。
でも、知らない人は知らない。
なので、６個の方がヒント感が高くなると思い、例示を６個にしました。

以上、裏話でした。
顧問室 常任顧問 浮浪

(2025年03月01日(土) 22時53分 )
＞＞有名な問題じゃないか

確か、どこかで「棒の上のネズミ」の設定のを見た記憶があります。
無所属 名誉会長 teki

(2025年03月02日(日) 01時42分 )
>>「ぶつかる回数」＝「すれ違う回数」
物理では、同種粒子の衝突は反射とすれ違い（交換）は区別不可能。
これを使うセンス、アイデアが素晴らしい。

今年の京大入試 理系数学[2]の整数問題の答えも 2025
おいおい認証か？ と思った（それとも 受けでも狙ったか）。
無所属 相談役 量子論

(2025年03月02日(日) 14時00分 )
久しぶりに参戦します。
真ん中で左右に分けた２グループが、向かい合って進み始め、
最後は全員、初めの向きと反対方向に進む。
真ん中の人、その隣の人...が何回衝突するか考え、
規則性を見つけて計算しました。

「ぶつかる回数」＝「すれ違う回数」が一番わかりやすい。
無所属 社長 αケンタウリ

(2025年03月02日(日) 16時36分 )
>>今年の京大入試 理系数学[2]の整数問題の答えも 2025

　どんな問題なんだろうって、検索したら

　正の整数x,y,zを用いて，N＝9z^2＝x^6＋y^4 と表される正の整数 N の最小値を求めよ。

でした。

　解ける気がしません。(笑)

　
顧問室 常任顧問 浮浪

(2025年03月02日(日) 18時03分 )
これは 9 の剰余に注目ですね

N = 9z^2 = x^6＋y^4
x=0のとき x^6=0 (mod9)
x=3n±1のとき x^3=±1 (mod9),x^6=1 (mod9)
N=0 (mod 9)より、y^4=0または y^4=8 (mod9)
しかし y^4=8 (mod9) となる数はないので y=0,x=0 (mod9)
そこで x=3p,y=3qとおくと、
N = 9z^2 = 729p^2+81q^2, z^2 = 81p^6+9q^4、
zが3の倍数とわかったので、z=3rとおいて辺々9で割ると、
r^2 = 9p^6+q^4 = (3p^3)^2+(q^2)^2
これは p=1,q=2 で r=5, 3p^3=3, q^2=4 と成立(3:4:5 最小のピタゴラス数）
z=3r=15, N=9z^2=2025
無所属 ＣＥＯ なか

(2025年03月02日(日) 19時50分 )
なるほど。流石です。
顧問室 常任顧問 浮浪

(2025年03月03日(月) 14時10分 )
「なるほど」と書いたけど、１つだけ。

「x=0のとき x^6=0 (mod9)」は「x=3nのとき x^6=0 (mod9)」ですよね？

顧問室 常任顧問 浮浪

(2025年03月03日(月) 14時19分 )
それにしても、京大の問題を作った人に感心する。
顧問室 常任顧問 浮浪

(2025年03月05日(水) 14時29分 )
>「x=0のとき x^6=0 (mod9)」は「x=3nのとき x^6=0 (mod9)」ですよね
あ、そうです
無所属 ＣＥＯ なか
[3153] 有名でも私は知らない問題
2025年03月02日(日) 08時43分
6個なら9回、なら4個ならとやってみると4回、ヒント様々でした。
5個ならどうなるのかわかっていません。
無所属 ヒラ 次郎長

(2025年03月02日(日) 16時22分 )
５個なら（３×２＝）６回です。
顧問室 常任顧問 浮浪

(2025年03月02日(日) 17時03分 )
ありがとうございます。やってみます。
無所属 ヒラ 次郎長
[3152] Σの公式
2025年03月01日(土) 21時13分
1＋2＋3＋・・・＋44＋45＋44＋・・・＋3＋2＋1＝1/2×44×45×2＋45＝2025(回)
無所属 顧問 algebra